对于任一个大于 1 的自然数 n 总有有限个可整除它的自然数，设为 f 个，则 f 与 n 之间存在一种函数关系。    设自然数 n 的能整除它的因数个数函数为 f(n) ，简称为“因数个数函数”。
    在一个纵坐标为 f(n) , 横坐标为 t 的坐标平面上，我们可用在各区间 [ n - 0.5 ，n + 0.5 )上个个脉宽为 1 ，幅度为 f(n)的单向矩形脉冲来表达“因数个数函数”的一种几何描述图形（图 1上方）。

图 1

    脉宽为 1 已把本来分布于各自然数点处的因数个数的值延伸给一个区间 [ kN - 0.5 , kN + 0.5 )，因此自变量已由自然数 n 扩展为实数 t 。函数 f(n) 扩展为 f(t), f(n) 是 f(t) 中的一个“梳”,即

    再看周期为 N ，脉宽为 1 ，幅度为 1 的单向矩形周期脉冲，各脉冲位于区间

[ kN - 0.5 , kN + 0.5 )

处，k 为自然数。这些脉冲的中心将位于所有能被 N 整除的数 kN 处。设这个周期脉冲为 Φ(N,t),则

图 1 下方画出了 N = 1, 至 N = 6 的几个 Φ(N,t) 的局部图形。
    我们知道波的迭加会产生“拍”，如果把 N = 1,2,3,……,n 的所周期脉冲 Φ(N,t) 迭加，如果 N 自 1 至 n 中有任何能整除 n 的数都将在区间

[ n - 0.5 , n + 0.5 )

处有一个幅度为 1 的脉冲，这些脉冲的迭加将产生一个“拍”，“拍”的幅度为能整除它的因数个数，因此有

Φ(N,t)的基频的角频率为

我们可将Φ(N,t)展开为富里叶级数[1]

(5)式中的

　

将(6)(7)(8)式代入(5)式，得

从图1 下方的 Φ(N,t)图形可知，在区间 (n-0.5, n+0.5) 上 Φ(N,t)为平行于 t 轴的水平线，对（2）式 Φ(N,t)求关于t的导数，得

Φ'(N,t) = 0,                          (10)

根据李普希兹判别法则的推论[1]，因 Φ(N,t) 的导数在区间

(n-0.5, n+0.5)

上存在，所以在区间

(n-0.5, n+0.5)

上 (9) 式收敛于 Φ(N,t)。最关心的 n 点正在区间

(n-0.5, n+0.5)

的中心。将 (9) 式代入 (2) 式，得

在 区间 (n-0.5, n+0.5) 上(11)式是n个收剑级数的和，上述 (11) 式收敛于f(t)。最关心的n点正在区间 (n-0.5, n+0.5) 的中心，因 f(n) 为 f(t) 在 t=n 时的一个“梳”，将 t=n 代入（11）式即得到因数个数函数的表达式为： 　 　 推导证明毕。

    讨论：因数个数函数，可以有不同的表达方式，因为将定义在自然数域上的f(n)扩展为定义在正数域上的f(t)后，只要满足在n点的某邻域上连续，并

就可使f(t)的富里叶展开式在t=n点收敛于f(n)。满足上述条件的f(t)有无限多个。所以因数个数函数的表达方式也有无限多种。
    其它表达形式的因数个数函数的推导证明方法类同，在此就不再一一证明了。

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